برای یافتن شیب خط مماس بر منحنی تابع \( f(x) = \sqrt{x} \) در نقطه \( x = 4 \)، ابتدا باید مشتق تابع را پیدا کنیم و سپس مقدار آن را در \( x = 4 \) محاسبه کنیم.
تابع داده شده:
\[ f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \]
مشتق این تابع به شکل زیر است:
\[ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
حالا مشتق را در \( x = 4 \) محاسبه میکنیم:
\[ f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4} \]
بنابراین، شیب خط مماس بر منحنی در نقطه \( x = 4 \) برابر با \( \frac{1}{4} \) است.
