برای مشتق‌گیری از تابع \( f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^5 (4x + \sqrt{x})^3 \)، از قاعده زنجیری و قاعده ضرب استفاده می‌کنیم. تابع به صورت حاصل‌ضرب دو قسمت است که باید از هر دو مشتق بگیریم.
فرض کنیم:
\[ u = \left(\frac{1}{x}\right)^5 \]
\[ v = (4x + \sqrt{x})^3 \]
بنابراین:
\[ f(x) = u \cdot v \]
برای محاسبه مشتق، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:
\[ f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v' \]
ابتدا مشتق \( u \) را محاسبه می‌کنیم:
\[ u = x^{-5} \]
\[ u' = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6} \]
و سپس مشتق \( v \):
\[ v = (4x + x^{1/2})^3 \]
با استفاده از قاعده زنجیری:
فرض کنیم \( w = 4x + x^{1/2} \)، بنابراین \( v = w^3 \).
\[ v' = 3w^2 \cdot w' \]
حال بیایید \( w' \) را پیدا کنیم:
\[ w = 4x + x^{1/2} \]
\[ w' = 4 + \frac{1}{2}x^{-1/2} \]
پس داریم:
\[ v' = 3(4x + x^{1/2})^2 \left(4 + \frac{1}{2}x^{-1/2}\right) \]
حال می‌توانیم \( f'(x) \) را پیدا کنیم:
\[ f'(x) = (-\frac{5}{x^6}) \cdot (4x + x^{1/2})^3 + x^{-5} \cdot 3(4x + x^{1/2})^2 \left(4 + \frac{1}{2}x^{-1/2}\right) \]
این معادله شامل تمام مشتقات کاربردی برای \( f(x) \) است. با ساده‌سازی بیشتر و جمع کردن تمامی قسمت‌ها، پاسخ دقیق‌تری قابل دستیابی است.
