سلام میشه پاسخ این سوال رو بگید🙏

برای حل این سوال، باید بررسی کنیم که تابع \( f(x) \) در نقطه \( x = 1 \) مشتق‌پذیر است یا خیر. تابع به صورت زیر تعریف شده است: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x-5} & x \ge 1 \x^2 + ax + b & x < 1 \end{cases} \] **1. پیوستگی تابع در \( x = 1 \):** - باید حد چپ و راست تابع در \( x = 1 \) برابر با مقدار تابع در آن نقطه باشد. حد راست: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x-5} = \frac{1}{1-5} = -\frac{1}{4} \] حد چپ: \[ \lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b \] برای پیوستگی، حد چپ باید برابر حد راست باشد: \[ 1 + a + b = -\frac{1}{4} \] **2. مشتق‌پذیری تابع در \( x = 1 \):** - باید مشتق چپ و راست تابع در \( x = 1 \) برابر باشند. مشتق راست: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x-5} \right) = \frac{(x-5) \cdot 1 - x \cdot 0}{(x-5)^2} = \frac{-4}{(x-5)^2} \] در \( x = 1 \): \[ f'(1^+) = \frac{-4}{(1-5)^2} = -\frac{1}{4} \] مشتق چپ: \[ f'(x) = 2x + a \] در \( x = 1 \): \[ f'(1^-) = 2 \cdot 1 + a = 2 + a \] برای مشتق‌پذیری، مشتق چپ و راست باید برابر باشند: \[ 2 + a = -\frac{1}{4} \] **حل معادلات:** از معادله \( 1 + a + b = -\frac{1}{4} \)، داریم: \( a + b = -\frac{5}{4} \). از معادله \( 2 + a = -\frac{1}{4} \)، داریم: \( a = -\frac{9}{4} \). با جایگذاری در معادله اول: \( -\frac{9}{4} + b = -\frac{5}{4} \) \( b = \frac{4}{4} = 1 \). بنابراین مقدار \( b \) برابر 1 است.

نصف شبه کاغذ ندارم شرمنده یه بار حد چپ رو بگیر یه بار راست رو از فرمول تعریف مشتق f(x) - f(a) / x - a برای f(x) چپ اونی که ایکس کمتر از ... رو بزار برای f(x) راست اونی که ایکس بزرگتر مساویه ایکس پایین رو برای جفتش از طریق اونی که بزرگتر مساویه در بیار در نهایت هم مقایسه کن ببین مساوی ان یا نه دیگه ، کاری نداره

سلام

بیا معرکه یادت نره