برای حل این سوال، باید بررسی کنیم که تابع \( f(x) \) در نقطه \( x = 1 \) مشتق‌پذیر است یا خیر. تابع به صورت زیر تعریف شده است:
\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x}{x-5} & x \ge 1 \x^2 + ax + b & x < 1
\end{cases}
\]
**1. پیوستگی تابع در \( x = 1 \):**
- باید حد چپ و راست تابع در \( x = 1 \) برابر با مقدار تابع در آن نقطه باشد.
حد راست:
\[
\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x-5} = \frac{1}{1-5} = -\frac{1}{4}
\]
حد چپ:
\[
\lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b
\]
برای پیوستگی، حد چپ باید برابر حد راست باشد:
\[
1 + a + b = -\frac{1}{4}
\]
**2. مشتق‌پذیری تابع در \( x = 1 \):**
- باید مشتق چپ و راست تابع در \( x = 1 \) برابر باشند.
مشتق راست:
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x-5} \right) = \frac{(x-5) \cdot 1 - x \cdot 0}{(x-5)^2} = \frac{-4}{(x-5)^2}
\]
در \( x = 1 \):
\[
f'(1^+) = \frac{-4}{(1-5)^2} = -\frac{1}{4}
\]
مشتق چپ:
\[
f'(x) = 2x + a
\]
در \( x = 1 \):
\[
f'(1^-) = 2 \cdot 1 + a = 2 + a
\]
برای مشتق‌پذیری، مشتق چپ و راست باید برابر باشند:
\[
2 + a = -\frac{1}{4}
\]
**حل معادلات:**
از معادله \( 1 + a + b = -\frac{1}{4} \)، داریم:
\( a + b = -\frac{5}{4} \).
از معادله \( 2 + a = -\frac{1}{4} \)، داریم:
\( a = -\frac{9}{4} \).
با جایگذاری در معادله اول:
\( -\frac{9}{4} + b = -\frac{5}{4} \)
\( b = \frac{4}{4} = 1 \).
بنابراین مقدار \( b \) برابر 1 است.
