برای حل این عبارت، باید ابتدا عبارتهای صورت و مخرج را تحلیل کنیم.
عبارت:
\[
\frac{x}{x^3+y^3} \cdot \frac{y(x-y)^3}{x^3-y^3}
\]
ابتدا از رابطه معروف تفاضل و جمع مکعبات استفاده میکنیم:
- \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)\)
- \(x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)\)
بنابراین میتوانیم عبارت اصلی را به این صورت ساده کنیم:
\[
\frac{x}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)} \cdot \frac{y(x-y)^3}{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}
\]
سپس میتوانیم عملیاتی انجام دهیم:
در صورت و مخرج عبارات مشترک را ساده کنیم:
\[
\Longrightarrow \frac{xy(x-y)^3}{(x+y)(x-y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)}
\]
میتوانیم \((x-y)\) را از صورت و مخرج ساده کنیم:
\[
\Longrightarrow \frac{xy(x-y)^2}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)}
\]
بنابراین حاصل نهایی عبارت است:
\[
\frac{xy(x-y)^2}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)}
\]
این عبارت فاکتور شده و به حداقل ممکن ساده شده است.
