برای محاسبه ضریب انبساط، از رابطه زیر استفاده میکنیم:
\[
\beta = \frac{\Delta V}{V_0 \Delta T}
\]
که در آن:
- \(\beta\) ضریب انبساط (انبساط حجمی) است.
- \(\Delta V\) تغییر حجم است.
- \(V_0\) حجم اولیه است.
- \(\Delta T\) تغییر دما است.
با توجه به این سوال، چگالی یک قطعه به میزان ۴۰ درصد کاهش مییابد. این بدان معناست که چگالی نهایی (ρ_final) نسبت به چگالی اولیه (ρ_initial) برابر است با:
\[
\rho_{\text{final}} = \rho_{\text{initial}} \times (1 - 0.4) = \rho_{\text{initial}} \times 0.6
\]
چگالی با افزایش دما کاهش مییابد، بنابراین اگر چگالی نهایی ۶۰ درصد چگالی اولیه است، متناسب با حجم میتوانیم بنویسیم:
\[
V_{\text{final}} = \frac{V_{\text{initial}}}{0.6}
\]
بنابراین، تغییر حجم (\(\Delta V\)) برابر است با:
\[
\Delta V = V_{\text{final}} - V_{\text{initial}} = \frac{V_{\text{initial}}}{0.6} - V_{\text{initial}} = V_{\text{initial}} \left(\frac{1}{0.6} - 1\right) = V_{\text{initial}} \left(\frac{1 - 0.6}{0.6}\right) = V_{\text{initial}} \left(\frac{0.4}{0.6}\right)
\]
حالا میتوانیم به ضریب انبساط (\(\beta\)) بپردازیم. تغییر دما (\(\Delta T\)) برابر با ۲۰۰ درجه سانتیگراد است. پس:
\[
\beta = \frac{\Delta V}{V_0 \Delta T} = \frac{V_{\text{initial}} \left(\frac{0.4}{0.6}\right)}{V_{\text{initial}} \times 200}
\]
در اینجا \(V_{\text{initial}}\) در بالا و پایین کسرها همدیگر را حذف میکنند:
\[
\beta = \frac{0.4}{0.6 \times 200} = \frac{0.4}{120} = \frac{1}{300}
\]
بنابراین، ضریب انبساط (\(\beta\)) برابر با \(\frac{1}{300}\) میباشد.
