برای حل این مسئله، فرض کنید دو ریشه معادله \( x_1 \) و \( x_2 \) باشد، و \( x_1 = x_2 + 2 \) است. معادله درجه دوم داده‌شده، \( 3x^2 - 5x + m - 1 = 0 \) است.
با استفاده از روابط بین ریشه‌ها و ضرایب معادله درجه دوم، داریم:
1. \( x_1 + x_2 = \frac{5}{3} \)
2. \( x_1 \times x_2 = \frac{m-1}{3} \)
با توجه به فرض \( x_1 = x_2 + 2 \)، می‌توانیم بنویسیم:
\( x_2 + (x_2 + 2) = \frac{5}{3} \)
این معادله به‌صورت زیر حل می‌شود:
\[ 2x_2 + 2 = \frac{5}{3} \]
\[ 2x_2 = \frac{5}{3} - 2 \]
\[ 2x_2 = \frac{5}{3} - \frac{6}{3} \]
\[ 2x_2 = -\frac{1}{3} \]
\[ x_2 = -\frac{1}{6} \]
بنابراین، \( x_1 = x_2 + 2 = -\frac{1}{6} + 2 = \frac{11}{6} \).
اکنون می‌توانیم از رابطه دوم استفاده کنیم:
\[ x_1 \times x_2 = \frac{m-1}{3} \]
\[ \left(-\frac{1}{6}\right) \times \frac{11}{6} = \frac{m-1}{3} \]
\[ -\frac{11}{36} = \frac{m-1}{3} \]
از اینجا، \( m \) را می‌یابیم:
\[ m-1 = -\frac{11}{12} \]
\[ m = -\frac{11}{12} + 1 \]
\[ m = -\frac{11}{12} + \frac{12}{12} \]
\[ m = \frac{1}{12} \]
پس مقدار \( m \) برابر است با \( \frac{1}{12} \).
