برای حل این سوال، باید تابع \( \frac{f}{g} \) را بدست آوریم و دامنه آن را تعیین کنیم.
تابعهای داده شده:
\( f(x) = \frac{x+2}{x-1} \)
\( g(x) = x^3 - 4 \)
حال تابع \( \frac{f}{g} \) را تعریف میکنیم:
\[
\frac{f}{g}(x) = \frac{\frac{x+2}{x-1}}{x^3 - 4} = \frac{x+2}{(x-1)(x^3 - 4)}
\]
برای تعیین دامنه \( \frac{f}{g} \) باید شرایطی که کسر تعریف نشده باشد را پیدا کنیم. دو شرط زیر داریم:
1. \( x-1 \neq 0 \) یعنی \( x \neq 1 \)
2. \( x^3 - 4 \neq 0 \) یعنی \( x^3 \neq 4 \) که نتیجه میدهد \( x \neq \sqrt[3]{4} \)
بنابراین، دامنه تابع \( \frac{f}{g} \) برابر است با تمام اعداد حقیقی به جز \( x = 1 \) و \( x = \sqrt[3]{4} \).
پاسخ تشریحی:
1. رابطه تابع \( \frac{f}{g}(x) \) را به صورت \( \frac{x+2}{(x-1)(x^3 - 4)} \) بدست آوردیم.
2. دامنه آن را تعیین کردیم که برابر است با:
\[
\mathbb{R} \setminus \{1, \sqrt[3]{4}\}
\]
