برای حل این سوال، تابع \( f \) باید یک به یک باشد. یک تابع یک به یک زمانی است که هیچ دو عنصر مختلفی از دامنه به یک عنصر از برد تصویر نشود.
تابع داده شده به صورت زیر است:
\[ f = \{ (1, a + 4b), (-2, 3), (2a-b, 3), (1, 4), (2, 5) \} \]
1. **بررسی زوجهای مرتب تکراری برای \( x \):**
- در تابع \( f \) دو ورودی متفاوت (مثل \( 1 \) و \( 1 \)) تصویرهای متفاوتی دارند: \( a + 4b \) و \( 4 \).
2. **شرط یک به یک بودن:**
- اگر \( a + 4b = 4 \) باشد، دو تصویر برای \( x = 1 \) یکسان میشود که نقض یک به یک بودن است.
- پس باید \( a + 4b \neq 4 \) باشد.
3. **تصاویر مشابه برای \( y \) باید ورودیهای مشترک داشته باشند:**
- برای \( y = 3 \)، داریم: \((-2, 3)\) و \((2a-b, 3)\).
- باید \(-2 = 2a - b\) باشد.
4. **حل معادله برای مقادیر \( a \) و \( b \):**
- از معادله \(-2 = 2a - b\):
\[
b = 2a + 2
\]
5. **تطبیق با شرایط:**
- قبلاً داشتیم \( a + 4b \neq 4 \).
- با جایگذاری \( b = 2a + 2 \) در این شرط:
\[
a + 4(2a + 2) \neq 4
\]
یعنی
\[
a + 8a + 8 \neq 4 \implies 9a + 8 \neq 4 \implies 9a \neq -4
\]
بنابراین مجموعه شرایط را داریم:
- \( b = 2a + 2 \)
- \( 9a \neq -4 \)
با این شرایط، تابع \( f \) یک به یک است و مقادیر ممکن \( a \) و \( b \) تعیین میشوند.
