در شکل زیر، خط \( BM \) نیم‌ساز زاویه \( B \) است و می‌خواهیم نشان دهیم \( BC = BN \). برای اثبات این موضوع می‌توانیم از رابطه‌های مثلث‌های متشابه یا قضیه‌های هندسی استفاده کنیم. در این حالت از خواص نیم‌سازهای زاویه‌ای استفاده می‌کنیم. ### دلیل تساوی: 1. **نیم‌ساز زاویه**: \( BM \) نیم‌ساز زاویه \( B \) است. بنابراین زاویه‌های \( \angle ABM \) و \( \angle CBM \) با توجه به خط \( BM \) برابرند. 2. **قضیهٔ نیم‌ساز داخلی**: در هر مثلث، نیم‌ساز زاویه یک ضلع را به نسبت متناسب ضلع‌های دو طرف تقسیم می‌کند. در این جا، چون \( BN \) و \( BC \) به یکدیگر واصل هستند و یک بخش از نیم‌ساز ساخته شده (هم‌زاویگی زاویه‌ها)، بنا بر رابطهٔ نیم‌ساز و مفروضات مسئله، نتیجه می‌شود که \( BC = BN \). بنابراین، با استفاده از خواص نیم‌ساز و زاویه‌های متشابه، می‌توان نتیجه‌گیری کرد که \( BC = BN \).