برای اثبات رابطه \( AB \times AC = AE \times AD \) در این شکل، میتوانیم از تئوری خطوط هممساحت استفاده کنیم.
توضیح تشریحی:
1. **تئوری خطوط هممساحت:** وقتی یک خط از مرکز دایرهای که مثلث را محاط کرده گذشته و آن را به دو بخش مساوی تقسیم کند، دو مثلث به دست آمده در این تقسیم مشابه خواهند بود. این خاصیت باعث میشود که نسبت خاصی بین طول اضلاع به وجود آید.
2. **بررسی شکل:** در شکل داده شده، \( AD \) نیمساز زاویه \( A \) است و از نقطه \( E \) که روی محیط دایره قرار دارد میگذرد.
3. **استفاده از خاصیت تساوی خطوط:** با توجه به اینکه \( E \) روی دایره محیطی قرار گرفته، طبق تئوری خطوط هممساحت خواهیم داشت:
- نسبت طولا اضلاع به صورت زیر برقرار است:
\[
\frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AC}
\]
4. **ترتیب ضرب ضربدری:** با ضرب طرفین این معادله به دست میآوریم:
\[
AB \times AC = AE \times AD
\]
بنابراین اثبات کردیم که \( AB \times AC = AE \times AD \) برقرار است.
