برای حل این سوال از معادله زیر شروع میکنیم:
\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{ac}{bd}
\]
و \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) که به معنای \(\frac{a}{b} = k\) و \(\frac{c}{d} = k\) است. بنابراین میتوان نوشت:
\( a = kb \) و \( c = kd \).
حالا به جای \( a \) و \( c \) در معادله اول قرار میدهیم:
\[
\frac{(kb)^2 + (kd)^2}{b^2 + d^2} = \frac{(kb)(kd)}{bd}
\]
با سادهسازی کسرها خواهیم داشت:
\[
\frac{k^2b^2 + k^2d^2}{b^2 + d^2} = \frac{k^2bd}{bd}
\]
طرف چپ معادله را میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد:
\[
\frac{k^2(b^2 + d^2)}{b^2 + d^2} = k^2
\]
و طرف راست معادله نیز برابر \( k^2 \) است. بنابراین:
\[
k^2 = k^2
\]
به این ترتیب، معادله برقرار است و ثابت شد.
