برای حل این سوال، ابتدا توجه میکنیم که \(CH\) نیمساز زاویه \(C\) است. بنابراین مثلث \(ABC\) را به دو مثلث کوچکتر \(ACH\) و \(BCH\) تقسیم میکند و از رابطههای مساحت مثلث استفاده میکنیم.
مساحت کل مثلث \(ABC\) برابر است با:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times CH
\]
ولی ما به مساحت مثلث \(ABC\) با استفاده از طولهای داده شده نیاز داریم. با توجه به اینکه \(CH\) نیمساز زاویه است و از روابط طول نیمساز و بخش مربوطه در کتاب استفاده میشود، میتوانیم بگوییم که در حالت نیمساز داخلی:
\[
\frac{AH}{BH} = \frac{AC}{BC}
\]
اما تمرکز اصلی این سوال بر روی مساحت و انتخاب گزینه صحیح است. با توجه به روابط مثلثات و مساحت، موارد زیر میتواند محاسبه شود:
با توجه به گزینهها، و مقایسه با فرمولهایی که ممکن است از نصف پایه ضرب ارتفاع بهره بگیرند، به این نتیجه میرسیم که پاسخ صحیح گزینه دوم است:
\[
\frac{AH}{2} \times (AC + BC)
\]
گزینه 2 صحیح است، زیرا این فرمول میتواند بیانگر رابطهی مساحت مثلث با توجه به نیمساز بودن ارتفاع باشد.
