برای حل این مسئله، ابتدا فرض کنیم دنباله یک دنباله حسابی باشد.
فرض کنیم جمله اول دنباله \( a \) باشد و قدر نسبت دنباله \( d \).
جملات اول تا دهم دنباله به صورت زیر خواهند بود:
- \( a_1 = a \)
- \( a_2 = a + d \)
- \( a_3 = a + 2d \)
- \( a_4 = a + 3d \)
- ...
- \( a_{10} = a + 9d \)
با توجه به اطلاعات داده شده:
1. مجموع چهار جمله اول دنباله برابر 15 است:
\[
a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 15
\]
این معادله را ساده میکنیم:
\[
4a + 6d = 15 \quad \Rightarrow \quad 2a + 3d = 7.5 \quad \text{(معادله 1)}
\]
2. جمله دهم سه برابر جمله هشتم است:
\[
a + 9d = 3(a + 7d)
\]
این معادله را ساده میکنیم:
\[
a + 9d = 3a + 21d \quad \Rightarrow \quad 2a + 12d = 0 \quad \Rightarrow \quad a + 6d = 0 \quad \text{(معادله 2)}
\]
حالا دو معادله داریم:
1. \( 2a + 3d = 7.5 \)
2. \( a + 6d = 0 \)
از معادله دوم داریم:
\[ a = -6d \]
این مقدار \( a \) را در معادله اول جایگزین میکنیم:
\[
2(-6d) + 3d = 7.5
\]
\[
-12d + 3d = 7.5 \quad \Rightarrow \quad -9d = 7.5 \quad \Rightarrow \quad d = -\frac{7.5}{9} = -\frac{5}{6}
\]
حال \( d \) را داریم، و میتوانیم \( a \) را بیابیم:
\[
a = -6 \left(-\frac{5}{6}\right) = 5
\]
حالا جمله یازدهم را پیدا میکنیم:
\[
a_{11} = a + 10d = 5 + 10 \left(-\frac{5}{6}\right) = 5 - \frac{50}{6} = 5 - \frac{25}{3} = \frac{15}{3} - \frac{25}{3} = -\frac{10}{3}
\]
بنابراین، جمله یازدهم دنباله \(-\frac{10}{3}\) است.
