در یک دنباله هندسی، مجموع ۶ جمله اول ۲۸ برابر جمله اول است. قدر نسبت این دنباله کدام است؟
با فرض اینکه جمله اول دنباله را با \( a \) و قدر نسبت دنباله را با \( r \) نشان دهیم، فرمول مجموع \( n \) جمله اول یک دنباله هندسی به صورت زیر است:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
برای \( n = 6 \)، این فرمول به شکل زیر در می‌آید:
\[
S_6 = a \frac{r^6 - 1}{r - 1} = 28a
\]
از این معادله داریم:
\[
\frac{r^6 - 1}{r - 1} = 28
\]
حال باید این معادله را حل کنیم. ابتدا با استفاده از جدول پاسخ‌ها و امتحان مقادیر مختلف، موارد زیر را بررسی می‌کنیم:
### محاسبه برای گزینه‌ها (مثلاً):
۱. \( r = 2 \)
\[
\frac{2^6 - 1}{2 - 1} = \frac{64 - 1}{1} = 63 \neq 28
\]
۲. \( r = -2 \)
\[
\frac{(-2)^6 - 1}{(-2) - 1} = \frac{64 - 1}{-3} \neq 28
\]
۳. \( r = 3 \)
\[
\frac{3^6 - 1}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = 364 \neq 28
\]
۴. \( r = -3 \)
\[
\frac{(-3)^6 - 1}{(-3) - 1} = \frac{729 - 1}{-4} = -182.5 \neq 28
\]
۵. \( r = \frac{1}{2} \)
\[
\frac{(\frac{1}{2})^6 - 1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{64} - 1}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{63}{64}}{-\frac{1}{2}} = \frac{63}{32} \neq 28
\]
۶. \( r = -\frac{1}{2} \)
\[
\frac{(-\frac{1}{2})^6 - 1}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{64} - 1}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{63}{64}}{-\frac{3}{2}} = \frac{63}{96} \neq 28
\]
باید با دقت بیشتری دنبال مقدار مناسب برای \( r \) بگردیم که معادله را برقرار کند یا سایر گزینه‌ها را بررسی نماییم که یکی از آنها قبلا محاسبه نشده بود.
ممکن است خطایی در محاسبات بوجود آمده است، لطفا دوباره تمامی گزینه‌ها را بررسی کنید.
