بیایید معادلات را یکی یکی بررسی کنیم:
1. \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\):
فرض کنیم \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
با مجذور گرفتن دو طرف داریم:
\[ 4 + 2\sqrt{3} = a + b + 2\sqrt{ab} \]
حاصل \(\sqrt{3}\) نشان میدهد که \(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{3}\) یعنی \(ab = 3\).
همچنین \(a + b = 4\).
از این دو معادله:
\[ (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 4^2 - 4 \times 3 = 16 - 12 = 4 \]
پس در نتیجه:
\(a - b = 2\)
حالا دو معادله حل میشود:
\[ a + b = 4 \]
\[ a - b = 2 \]
با حل این دو:
\(a = 3\), \(b = 1\).
بنابراین: \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{1}\).
2. \(\sqrt{2 - 2\sqrt{2}}\):
فرض کنیم \(\sqrt{2 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{c} - \sqrt{d}\).
با مجذور گرفتن دو طرف داریم:
\[ 2 - 2\sqrt{2} = c + d - 2\sqrt{cd} \]
حاصل \(\sqrt{2}\) نشان میدهد که \(2\sqrt{cd} = 2\sqrt{2}\) یعنی \(cd = 2\).
همچنین \(c + d = 2\).
از این دو معادله:
\[ (c - d)^2 = (c + d)^2 - 4cd = 2^2 - 4 \times 2 = 4 - 8 = -4 \]
در این حالت نسبتی منطقی وجود ندارد که \(c - d\) به صورت یک عدد حقیقی باشد، پس به همان \(\sqrt{c} - \sqrt{d}\) برنخواهم گشت.
به طور کلی، حل این عبارت میتواند مشکلساز باشد.
3. \(\sqrt{6 - 2\sqrt{3}} + \sqrt{6 + 2\sqrt{3}}\):
بیایید به صورت کلی در اینجا بررسی کنیم:
فرض کنیم \(x = \sqrt{6 - 2\sqrt{3}} + \sqrt{6 + 2\sqrt{3}}\).
با مجذور گرفتن دو طرف:
\[ x^2 = 6 - 2\sqrt{3} + 6 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{(6 - 2\sqrt{3})(6 + 2\sqrt{3})} \]
\[ x^2 = 12 + 2\sqrt{(\text{با توجه به فرمول مزدوج})} = 12 + 2 \times \sqrt{36 - 12} = 12 + 2 \times \sqrt{24} \]
بنابراین:
\[ x = 4 + 2 = 6 \]
بنابراین:
\(\sqrt{6 - 2\sqrt{3}} + \sqrt{6 + 2\sqrt{3}} = 6\).
امیدوارم این توضیحات کمکت کند!
