برای پاسخ به این سوال، ابتدا باید شرایط داده شده را بررسی کنیم.
1. **تعریف مجموعهها:**
- مجموعه \( A = [2K - 1, K + 12] \)
- مجموعه \( B = [K, K + 5] \)
2. **شرط اشتراک تک عضوی:**
اگر اشتراک این دو مجموعه تک عضوی باشد، به این معنی است که باید یک نقطه مشترک تنها وجود داشته باشد، یعنی:
\[
[2K - 1, K + 12] \cap [K, K + 5] = \{ x_0 \}
\]
که \( x_0 \) یک عدد مختص است و تنها مشابه یا راهی برای اتصال این دو بازه است.
3. **محاسبه نقاط مرزی:**
- بازه \( A \) از \( 2K - 1 \) شروع و به \( K + 12 \) ختم میشود.
- بازه \( B \) از \( K \) شروع و به \( K + 5 \) ختم میشود.
4. **حالتهای ممکن برای ترکیب و اشتراک:**
برای اینکه اشتراک فقط یک نقطه باشد، باید یکی از نقاط مرزی یکی از بازهها در نقطه مقطع دقیقاً مورد نظر قرار گیرد، یعنی باید:
\[
2K - 1 < K + 5
\]
و
\[
K < K + 12
\]
اینجا مشکلین فایدهای ندارد زیرا همواره برقرار است. اما مهمتر، تنها یکی از نقاط مرزی باید در تقاطع قرار گیرد.
5. **حساب کردن تقاطع:**
ما باید فرض کنیم:
\[
2K - 1 = K \quad \text{یا} \quad 2K - 1 = K + 5 \quad \text{یا} \quad K + 12 = K \quad \text{یا} \quad K + 12 = K + 5
\]
محاسبه مورد 1:
\[
2K - 1 = K \Rightarrow K = 1
\]
محاسبه مورد 2:
\[
2K - 1 = K + 5 \Rightarrow K = 6
\]
محاسبه مورد 3:
\[
K + 12 = K \Rightarrow \text{هیچ حلی وجود ندارد.}
\]
محاسبه مورد 4:
\[
K + 12 = K + 5 \Rightarrow \text{هیچ حلی وجود ندارد.}
\]
با توجه به محاسبات، نقاط قابل قبول برای \( K \) مقادیر 1 و 6 هستند. اکنون برای این دو مقدار را در بازهها قرار میدهیم و متمم اجتماع آنها را محاسبه میکنیم.
6. **متمم اجتماع:**
برای هر یک از مقادیر که بررسی کردیم، میتوانیم مقادیر مختلفی را برای \( K \) انتخاب کنیم و از آنجا متمم را به دست آوریم.
برای \( K = 1 \):
- \( A = [1, 13] \)
- \( B = [1, 6] \)
\[
A \cup B = [1, 13] \Rightarrow \text{متمم } A \cup B = (-\infty, 1) \cup (13, +\infty)
\]
برای \( K = 6 \):
- \( A = [11, 18] \)
- \( B = [6, 11] \)
\[
A \cup B = [6, 18] \Rightarrow \text{متمم } A \cup B = (-\infty, 6) \cup (18, +\infty)
\]
در نهایت، متمم اجتماع مجموعهها برای مقادیر مختلف K به صورت زیر خواهد بود:
- برای \( K = 1 \) : \((-∞, 1) \cup (13, +∞)\)
- برای \( K = 6 \) : \((-∞, 6) \cup (18, +∞)\)
به این ترتیب، دو حالت ممکن برای متمم وجود دارد بسته به مقدار K انتخابی.
