برای حل این سوال، ابتدا باید شرایطی را که دو بازه با هم اشتراکی ندارند بررسی کنیم. دو بازه (a, 2a + 1) و (a + 7, 2a + 3) را داریم.
1. تعریف بازهها:
- بازه اول: (a, 2a + 1)
- بازه دوم: (a + 7, 2a + 3)
2. برای اینکه این دو بازه اشتراکی نداشته باشند، یکی از حالتهای زیر باید برقرار باشد:
- تمامی نقاط بازه اول کمتر از نقاط بازه دوم باشد:
- \( 2a + 1 < a + 7 \) (نقطه انتهایی بازه اول کمتر از نقطه ابتدایی بازه دوم)
- یا اینکه:
- تمامی نقاط بازه دوم کمتر از نقاط بازه اول باشد:
- \( 2a + 3 < a \) (نقطه انتهایی بازه دوم کمتر از نقطه ابتدایی بازه اول)
حال هر دو شرایط را بررسی میکنیم.
**حالت اول:**
\( 2a + 1 < a + 7 \)
با جابهجا کردن عبارات، به معادله زیر میرسیم:
\( 2a - a < 7 - 1 \)
\( a < 6 \)
**حالت دوم:**
\( 2a + 3 < a \)
با جابهجا کردن عبارات به این معادله میرسیم:
\( 2a - a < -3 \)
\( a < -3 \)
بنابراین، با توجه به دو حالت بالا داریم:
1. \( a < 6 \)
2. \( a < -3 \)
از این دو میتوان نتیجه گرفت که مقدار a باید همزمان هر دو شرط را برآورده کند. حال اگر بخواهیم بازههایی از اعداد صحیح را برای a در نظر بگیریم، میتوانیم شرایط زیر را بررسی کنیم:
- \( a < -3 \) یعنی a میتواند برابر -4، -5، -6 و ... باشد.
- اما همچنین a باید از 6 نیز کمتر باشد.
بنابراین مقادیر صحیح a که شرایط بالا را برآورده میکنند:
- اعداد صحیحی که کوچکتر از -3 هستند: -4، -5، -6، و ... .
حال میتوانیم نتیجه بگیریم که تعداد اعداد صحیحی که میتوانند برای a انتخاب شوند نامتناهی است زیرا میتوانیم از اعداد صحیح منفی به سمت پایین ادامه دهیم. بنابراین:
پاسخ به سوال تعداد اعداد صحیح که a میتواند باشد: **نامتناهی.**
