برای حل این سوال، ابتدا رابطهی جملهی عمومی را بررسی میکنیم:
\[
a_n = 3 \times 3^{n-1} = 3^n
\]
رابطهی عمومی نشان میدهد که جملههای دنباله بهصورت \(3^n\) است. حالا برای پرسش، که محصول جملات از ۱ تا ۲۰ است، باید حاصلضرب زیر را محاسبه کنیم:
\[
a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_{20}
\]
با استفاده از رابطهی عمومی، عبارت تبدیل به:
\[
3^1 \times 3^2 \times \cdots \times 3^{20} = 3^{1+2+\cdots+20}
\]
برای محاسبهی \((1+2+\cdots+20)\) از مجموع یک دنباله استفاده میکنیم. مجموع اعداد از ۱ تا \(n\) برابر است با:
\[
\text{S} = \frac{n(n+1)}{2}
\]
بنابراین برای \(n=20\):
\[
\text{S} = \frac{20 \times 21}{2} = 210
\]
در نهایت، حاصلضرب بهشکل زیر خواهد بود:
\[
3^{210}
\]
بنابراین، حاصلضرب بیست جملهٔ اول برابر با \(3^{210}\) است.
