به منظور حل این سوال، به توضیح هر بخش از سوال میپردازیم:
**الف) اثبات رابطه برای \( m > n \)**
رابطه داده شده به صورت زیر است:
\[
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
\]
برای اثبات این رابطه، از خاصیتهای توان استفاده میکنیم:
ابتدا، صورت کسر را به صورت حاصل ضرب بیان کنیم:
\[
a^m = a \times a \times \ldots \times a \quad (\text{m بار})
\]
و مخرج کسر را داریم:
\[
a^n = a \times a \times \ldots \times a \quad (\text{n بار})
\]
با تقسیم \( a^m \) بر \( a^n \)، چندین بار مقادیر \( a \) در صورت و مخرج با هم ساده میشوند و تنها \( m-n \) بار \( a \) در صورت باقی میماند:
\[
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
\]
**ب) نوشتن اعداد به صورت حاصلضرب یک عدد طبیعی و یک عدد گنگ**
برای اعداد داده شده:
- \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\)
**پ) رسم پاره خطی به طول \(\sqrt{3}\)**
برای رسم \(\sqrt{3}\)، به این صورت عمل کنید:
1. یک پارهخط به طول 1 واحد رسم کنید.
2. یک پارهخط دیگر عمود بر پارهخط اول به طول 2 واحد رسم کنید تا یک مثلث قائمالزاویه تشکیل شود.
3. وتر این مثلث به طول \(\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{3}\) خواهد بود و باید آن را به کمک پرگار رسم کنید.
این راهنماییها به درک بهتر و حل مسئله کمک خواهند کرد.
