در سوال داده شده، رابطهٔ \( f = \{ (2,x+y), (2,4), (5,2), (5,x-y) \} \) است و باید مشخص کنیم آیا این یک تابع است و سپس مقدار \( x^2 + y^2 \) را بیابیم.
برای اینکه رابطهای تابع باشد، هر عضو از دامنه (اولین عضو زوجهای مرتب) باید به یک عضو یکتای برد (دومین عضو زوجهای مرتب) مربوط شود.
- در زوجهای مرتب \( (2,x+y) \) و \( (2,4) \)، عضو اول دامنه (۲) به دو مقدار مختلف تعلق دارد: \( x+y \) و ۴. بنابراین، این رابطه تابع نیست.
اما اگر شرایط تغییر کند و بگوییم باید صرف نظر از متابعت تابع، مقادیر \( x+y \) و \( x-y \) به شرط برابری داده را حل کنیم:
1. \( x+y = 4 \)
2. \( x-y = 2 \)
حالا دو معادله داریم که باید با حل آنها، \( x \) و \( y \) را پیدا کنیم:
\[ x+y = 4 \]
\[ x-y = 2 \]
با جمع کردن دو معادله:
\[ 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \]
با جایگذاری مقدار \( x \) در یکی از معادلات اولیه:
\[ 3 + y = 4 \Rightarrow y = 1 \]
حالا میتوانیم مقدار \( x^2 + y^2 \) را حساب کنیم:
\[ x^2 + y^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10 \]
پاسخ نهایی: \( x^2 + y^2 = 10 \)
