حل کنید تاج میدم

الف) برای اثبات این اتحاد: \[ m^2 + n^2 = (m-n)^2 + 2mn \] دو طرف را باز می‌کنیم و بررسی می‌کنیم تا تساوی درست باشد. سمت چپ: \[ m^2 + n^2 \] سمت راست: \[ (m-n)^2 + 2mn = m^2 - 2mn + n^2 + 2mn = m^2 + n^2 \] سمت چپ و راست برابرند، پس اتحاد درست است. --- ب) اثبات: \[ (x + \frac{1}{x})^2 - (x - \frac{1}{x})^2 = 4 \] سمت چپ را باز می‌کنیم: \[ (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \] \[ (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \] حال تفاوت را محاسبه می‌کنیم: \[ (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) - (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) = 4 \] این تساوی هم درست است. --- پ) اثبات: \[ (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2 + y^2) \] سمت چپ: \[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] جمع آن‌ها: \[ (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2 \] سمت راست: \[ 2(x^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 \] دوباره دو طرف برابرند، پس تساوی درست است. --- ت) اثبات: \[ (m-n)^2 - (m+n)^2 = -4mn \] سمت چپ: \[ (m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 \] \[ (m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \] تفاوت آن‌ها: \[ (m^2 - 2mn + n^2) - (m^2 + 2mn + n^2) = -4mn \] این تساوی هم درست است.