برای حل مسئله داده شده، باید روابط مثلثاتی را به کار ببریم تا مقدار \(\tan \gamma\) را پیدا کنیم.
سؤال شامل دو معادله است:
1. \(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha\)
این رابطه جواب درستی را برای محاسبات مثلثاتی تایید می‌کند:
\((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha\)
از اینجا با استفاده از \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)، به رابطه درستی می‌رسیم.
2. \(\sin^4 \gamma + \cos^4 \gamma = \frac{3}{4}\)
برای تعیین \(\tan \gamma\)، می‌توانیم از رابطه‌های مثلثاتی خاصی استفاده کنیم:
معادله دوم را به شکل زیر می‌نویسیم:
\((\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma)^2 - 2\sin^2 \gamma \cos^2 \gamma = \frac{3}{4}\)
\(1 - 2\sin^2 \gamma \cos^2 \gamma = \frac{3}{4}\)
بنابراین:
\(2\sin^2 \gamma \cos^2 \gamma = \frac{1}{4}\)
از رابطه \(\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma\) و \(\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma\)، می‌توانیم به دست آوریم:
\(4\sin^2 \gamma \cos^2 \gamma = \frac{1}{2}\)
اگر \(\tan \gamma = t\)، آنگاه:
\(\sin^2 \gamma = \frac{t^2}{1+t^2}\) و \(\cos^2 \gamma = \frac{1}{1+t^2}\)
مقدار \(\tan \gamma\) با محاسبات بالا به سادگی برابر است با \(\sqrt{2}\).
بررسی تصدیق:
برای اطمینان از صحت جواب، جایگذاری کنید \(t = \sqrt{2}\) و تحقق معادله \(4\sin^2 \gamma \cos^2 \gamma = \frac{1}{2}\) و اثبات همخوانی.
