برای حل این مسئله، از خواص تابعها و روابط مثلثاتی استفاده میکنیم. داده شده که:
\[
\tan \alpha = \frac{3}{4}
\]
و میخواهیم مقدار عبارت زیر را پیدا کنیم:
\[
A = \frac{4 \cos \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}
\]
ابتدا از رابطه \(\tan \alpha\) برای یافتن \(\sin \alpha\) و \(\cos \alpha\) استفاده میکنیم. با توجه به مثلث قائمالزاویه و رابطه \(\tan \alpha = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}\)، فرض کنید:
\[
\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}
\]
چون \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\)، این مقادیر برقرار هستند زیرا \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}\).
حالا مقدار \(A\) را محاسبه میکنیم:
\[
A = \frac{4 \times \frac{4}{5} - \frac{3}{5}}{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}
\]
ابتدا صورت و مخرج را ساده میکنیم:
صورت:
\[
4 \times \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{16}{5} - \frac{3}{5} = \frac{13}{5}
\]
مخرج:
\[
\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}
\]
حال تقسیم این دو حاصل را میدهد:
\[
A = \frac{\frac{13}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{13}{7}
\]
بنابراین، مقدار \(A\) برابر است با \(\frac{13}{7}\).
