با فرض یا اثبات درستی تساوی زیر را نشان دهید:
1. \(\frac{1 + \cot \alpha}{1 + \tan \alpha} = \cot \alpha\)
راهحل:
برای اثبات این مساوی، باید طرفین را ساده کنیم و ببینیم که آیا برابر هستند یا خیر.
\[
\frac{1 + \cot \alpha}{1 + \tan \alpha} = \frac{1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}
\]
ابتدا مخرج و صورت هر کسر را با \(\sin \alpha\) و \(\cos \alpha\) هممخرج میکنیم:
\[
= \frac{\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}}
\]
حالا ضرب میکنیم از \( \sin \alpha \cdot \cos \alpha\():
\[
= \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot \cos \alpha}{(\cos \alpha + \sin \alpha) \cdot \sin \alpha}
\]
بعد از حذف عبارت مشترک بالا و پایین:
\[
= \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha
\]
بنابراین، این تساوی درست است.
