برای حل این مسأله، دو بردار \(\vec{\alpha}\) و \(\vec{b}\) به صورت زیر داده شده‌اند:
\[
\vec{\alpha} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}
\]
ما باید \(\vec{c}\) را حساب کنیم که به صورت زیر تعریف شده است:
\[
\vec{c} = -r\vec{\alpha} + r\vec{b}
\]
حال، به جای \(r\) عدد خاصی داده نشده است، بنابراین فرض می‌کنیم که \(r\) یک فاکتور ثابت است که به ما اجازه می‌دهد مقیاس بردارها را تنظیم کنیم. به طور کلی، این مسئله به محاسبات ممکن اجازه می‌دهد تا به صورت نسبی محاسبه شود. بیایید این مسئله را برای یک حالت کلی \(r\) حل کنیم:
\[
-r\vec{\alpha} = -r \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -r \\ r \end{bmatrix}
\]
\[
r\vec{b} = r \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2r \\ r \end{bmatrix}
\]
پس بردار \(\vec{c}\) به صورت زیر محاسبه می‌شود:
\[
\vec{c} = \begin{bmatrix} -r \\ r \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2r \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -r + 2r \\ r + r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ 2r \end{bmatrix}
\]
بنابراین مختصات بردار \(\vec{c}\) به صورت زیر است:
\[
\vec{c} = \begin{bmatrix} r \\ 2r \end{bmatrix}
\]
این نتیجه نشان می‌دهد که بردار \(\vec{c}\) در جهت \([1, 2]\) با مقیاس \(r\) است.
