به نظر میرسد که سوال مربوط به تابع \( f(x) = \frac{2x - 3}{4x + 1} \) است و باید دامنه و برد آن را پیدا کنیم. بیایید هر کدام را بررسی کنیم:
### دامنه
برای پیدا کردن دامنه تابع، باید مقادیر \( x \) را پیدا کنیم که باعث شوند مخرج برابر صفر نشود.
مخرج: \( 4x + 1 \)
معادله مخرج صفر میشود:
\[ 4x + 1 = 0 \]
\[ 4x = -1 \]
\[ x = -\frac{1}{4} \]
بنابراین، دامنه تابع همه اعداد حقیقی به جز \( x = -\frac{1}{4} \) است:
\[ D: x \in \mathbb{R}, x \neq -\frac{1}{4} \]
### برد
برای محاسبه برد، به طور معمول باید تابع را به صورت صریح بر اساس \( y \) حل کنیم، اما میتوانیم این مسئله را هم با تحلیل رفتار تابع بررسی کنیم. معادله تابع را به صورت زیر بازنویسی میکنیم:
\[ y = \frac{2x - 3}{4x + 1} \]
بازنویسی برای \( x \):
\[ y(4x + 1) = 2x - 3 \]
\[ 4xy + y = 2x - 3 \]
\[ 4xy - 2x = -3 - y \]
\[ x(4y - 2) = -3 - y \]
\[ x = \frac{-3 - y}{4y - 2} \]
باید به صورت جبری بررسی کنیم که کدامیک از مقادیر \( y \) مجاز نیستند، یعنی:
\[ 4y - 2 \neq 0 \]
\[ 4y \neq 2 \]
\[ y \neq \frac{1}{2} \]
پس برد تابع همه اعداد حقیقی به جز \( y = \frac{1}{2} \) است:
\[ R: y \in \mathbb{R}, y \neq \frac{1}{2} \]
### نتیجهگیری
دامنه: \( x \in \mathbb{R}, x \neq -\frac{1}{4} \)
برد: \( y \in \mathbb{R}, y \neq \frac{1}{2} \)
