برای حل معادله دادهشده، باید بررسی کنیم آیا معادله از نظر ریاضی صحیح است یا خیر.
داریم:
\[
\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\cot \alpha + \cot \beta} = \tan \alpha \cdot \tan \beta
\]
برای بررسی، از تبدیلهای مثلثاتی زیر استفاده میکنیم:
\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{و} \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
\]
بنابراین:
\[
\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\cot \alpha + \cot \beta} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}}
\]
مخرج و صورت کسر را به یک مخرج مشترک میرسانیم:
صورت:
\[
\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}
\]
مخرج:
\[
\frac{\cos \alpha \sin \beta + \cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta}
\]
معادله به صورت زیر در میآید:
\[
\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \sin \beta + \cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta}} = \tan \alpha \cdot \tan \beta
\]
بعد از سادهسازی:
صورت در صورت:
\[
\sin(\alpha + \beta)
\]
مخرج در صورت:
\[
\sin(\alpha + \beta)
\]
بنابراین معادله به:
\[
\tan \alpha \cdot \tan \beta = \tan \alpha \cdot \tan \beta
\]
پس طرفین معادله برابر است و معادله از نظر مثلثاتی صحیح میباشد. این نشان میدهد هویت مثلثاتی در این معادله درست است.
