برای یافتن دنباله هندسی، ابتدا مشخصات یک دنباله هندسی را به خاطر میآوریم:
در یک دنباله هندسی، هر جمله با یک نسبت ثابت به جمله قبلی خود متعلق است. اگر نسبت این دنباله را \( r \) و اولین جمله آن را \( a \) در نظر بگیریم، جملات این دنباله به شکل زیر خواهند بود:
- جمله اول: \( a \)
- جمله دوم: \( ar \)
- جمله سوم: \( ar^2 \)
- جمله چهارم: \( ar^3 \)
- جمله پنجم: \( ar^4 \)
- جمله ششم: \( ar^5 \)
طبق اطلاعات سوال، جمله سوم برابر با \( ar^2 = 12 \) و جمله ششم برابر با \( ar^5 = 96 \) است.
حالا ما دو معادله داریم:
1. \( ar^2 = 12 \) (معادله 1)
2. \( ar^5 = 96 \) (معادله 2)
برای حل این دو معادله، میتوانیم معادله 1 را در نظر بگیریم و \( a \) را از آن پیدا کنیم:
از معادله 1، داریم:
\[
a = \frac{12}{r^2}
\]
حالا \( a \) را در معادله 2 جایگزین میکنیم:
\[
\frac{12}{r^2} \cdot r^5 = 96
\]
این معادله را ساده میکنیم:
\[
12 \cdot r^3 = 96
\]
حالا دو طرف معادله را بر 12 تقسیم میکنیم:
\[
r^3 = 8
\]
از اینجا میتوانیم \( r \) را پیدا کنیم:
\[
r = 2
\]
حالا که \( r \) را داریم، میتوانیم \( a \) را پیدا کنیم. از معادله 1 استفاده میکنیم:
\[
a = \frac{12}{(2)^2} = \frac{12}{4} = 3
\]
حالا که \( a \) و \( r \) را داریم، میتوانیم دنباله را بنویسیم:
- جمله اول: \( 3 \)
- جمله دوم: \( 3 \cdot 2 = 6 \)
- جمله سوم: \( 3 \cdot 2^2 = 12 \)
- جمله چهارم: \( 3 \cdot 2^3 = 24 \)
- جمله پنجم: \( 3 \cdot 2^4 = 48 \)
- جمله ششم: \( 3 \cdot 2^5 = 96 \)
پس دنباله هندسی ما به صورت زیر است:
\( 3, 6, 12, 24, 48, 96 \)
در نهایت، جواب نهایی دنباله هندسی که جملات سوم و ششم آن به ترتیب ۱۲ و ۹۶ میباشد، این است:
**دنباله: \( 3, 6, 12, 24, 48, 96 \)**
