برای اینکه معادله \( x^2 - x + y - 2 = 0 \) دارای ۲ ریشه باشد، لازم است که تابع مربوط به معادله، یعنی \( f(x) = x^2 - x + (y - 2) \)، دارای دو ریشه باشد. این به معنی آن است که دترمینان معادله cuadrática (معادله درجه دوم) باید مثبت باشد.
برای معادله درجه دوم \( ax^2 + bx + c = 0 \)، دترمینان به صورت زیر تعریف میشود:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
در این معادله، ما داریم:
- \( a = 1 \)
- \( b = -1 \)
- \( c = y - 2 \)
بنابراین، دترمینان معادله ما به صورت زیر خواهد بود:
\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y - 2) = 1 - 4(y - 2)
\]
حالا این دترمینان باید بزرگتر از صفر باشد تا معادله دارای دو ریشه مختلف باشد:
\[
1 - 4(y - 2) > 0
\]
با حل این معادله، ابتدا \( 1 \) را به سمت راست انتقال میدهیم:
\[
-4(y - 2) > -1
\]
حالا طرفین معادله را بر \(-1\) تقسیم میکنیم، که به ما عقیم میدهد:
\[
4(y - 2) < 1
\]
و حالا طرفین را بر \( 4 \) تقسیم میکنیم:
\[
y - 2 < \frac{1}{4}
\]
اکنون ۲ را به سمت راست انتقال میدهیم:
\[
y < \frac{1}{4} + 2
\]
که برابر است با:
\[
y < \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4}
\]
پس نتیجه میگیریم که برای آنکه معادله \( x^2 - x + y - 2 = 0 \) دارای ۲ ریشه واقعاً باشد، نیاز است که:
\[
y < \frac{9}{4}
\]
بنابراین حدود \( y \) طوری که معادله دارای ۲ ریشه باشد، برابر است با \( y < \frac{9}{4} \).
