برای یافتن ابعاد مستطیل، ابتدا طول و عرض آن را تعریف میکنیم.
فرض میکنیم عرض مستطیل را \(x\) سانتیمتر در نظر بگیریم. بر اساس متن سوال، طول مستطیل به صورت زیر خواهد بود:
\[
\text{طول} = 4x + 3
\]
از آنجا که مساحت مستطیل برابر با 45 سانتیمتر مربع است، از فرمول مساحت مستطیل استفاده میکنیم:
\[
\text{مساحت} = \text{طول} \times \text{عرض}
\]
با جایگذاری طول و عرض داریم:
\[
(4x + 3) \cdot x = 45
\]
حالا این معادله را حل میکنیم:
\[
4x^2 + 3x = 45
\]
تساوی را به شکل استاندارد معادله درجه دوم درمیآوریم:
\[
4x^2 + 3x - 45 = 0
\]
برای حل این معادله از فرمول کلی معادله درجه دوم \(ax^2 + bx + c = 0\) استفاده میکنیم که در آن \(a = 4\)، \(b = 3\) و \(c = -45\) است. فرمول حل معادله درجه دوم به صورت زیر است:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
حالا مقدار \( \Delta \) (تبیین) را محاسبه میکنیم:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-45) = 9 + 720 = 729
\]
سپس:
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 27}{8}
\]
دو حالت برای این معادله وجود دارد:
1. \(x = \frac{24}{8} = 3\) (مقدار مثبت)
2. \(x = \frac{-30}{8}\) (مقدار منفی که نامعتبر است)
پس عرض مستطیل برابر است با:
\[
x = 3 \text{ سانتیمتر}
\]
حال با استفاده از عرض، طول مستطیل را حساب میکنیم:
\[
\text{طول} = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15 \text{ سانتیمتر}
\]
بنابراین ابعاد مستطیل به صورت زیر است:
- عرض: 3 سانتیمتر
- طول: 15 سانتیمتر
در نتیجه ابعاد مستطیل 15 سانتیمتر در 3 سانتیمتر است.
