برای اینکه معادلهی \( x^2 - x + m - 2 = 0 \) دارای دو ریشه متمایز باشد، باید شرط دیسکرینانت مثبت بودن برقرار باشد.
فرمول دیسکرینانت برای معادلهی درجه دوم \( ax^2 + bx + c = 0 \) به صورت زیر است:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
در معادلهی شما، ضرایب به صورت زیر است:
- \( a = 1 \)
- \( b = -1 \)
- \( c = m - 2 \)
شرط مثبت بودن دیسکرینانت \( D > 0 \) باید برقرار باشد:
\[
(-1)^2 - 4 \times 1 \times (m - 2) > 0
\]
\[
1 - 4(m - 2) > 0
\]
\[
1 - 4m + 8 > 0
\]
\[
9 - 4m > 0
\]
\[
9 > 4m
\]
اگر دو طرف نامعادله را بر 4 تقسیم کنیم:
\[
\frac{9}{4} > m
\]
بنابراین، برای اینکه معادله دو ریشه متمایز داشته باشد، باید \( m < \frac{9}{4} \).
