برای حل این مسئله، ابتدا باید حد را با توجه به شرایط داده شده محاسبه کنیم. معادله حد به صورت زیر است:
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{ax^3 - x + 2} = -1
\]
برای سادهتر کردن کار، تمام درجات بالاتر از درجه بزرگترین جمله در مخرج یعنی \(x^3\) را بر آن تقسیم میکنیم:
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3(1 + \frac{2}{x^2})}{x^3(a - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3})}
\]
که این معادله به شکل زیر سادهسازی میشود:
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{2}{x^2}}{a - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3}} = -1
\]
هنگامی که \(x\) به بینهایت منفی نزدیک میشود، \(\frac{2}{x^2}\)، \(\frac{1}{x^2}\)، و \(\frac{2}{x^3}\) به صفر میل میکنند. پس حد به شکل زیر در خواهد آمد:
\[
\frac{1}{a} = -1
\]
بنابراین، \(a\) برابر با \(-1\) است.
اکنون باید حد چپ تابع را در \(x = -2\) محاسبه کنیم. با \(a = -1\)، تابع به صورت زیر خواهد بود:
\[
f(x) = \frac{x^3 + 2x}{-x^3 - x + 2}
\]
حد چپ را زمانی محاسبه میکنیم که \(x\) به \(-2\) میل میکند:
\[
f(-2) = \frac{(-2)^3 + 2(-2)}{-(-2)^3 - (-2) + 2} = \frac{-8 - 4}{8 - 2 + 2} = \frac{-12}{8} = \frac{-3}{2}
\]
بنابراین پاسخ صحیح \( -\frac{3}{2} \) است، اما در گزینهها حضور ندارد. با بررسی دقیقتر حد در جایی از محاسبات یا شرایط ممکن است خطایی رخ داده باشد. اگر سؤال به وضوح بیان شده بود، از بررسی دقیقتر شرایط یا معادلات اطمینان حاصل کنید.
