این سوال به موضوع حد و مشتق توابع در ریاضی دوازدهم مربوط میشود. برای حل این سوال، نیاز به استفاده از قواعد حد و مشتق داریم.
ابتدا باید حد داده شده را بررسی کنیم:
\[
\lim_{{x \to 2}} \frac{{f(x)g(x) - 3g(x)}}{{x - 2}}
\]
این عبارت را میتوان به صورت زیر ساده کرد:
\[
\lim_{{x \to 2}} \frac{{g(x)(f(x) - 3)}}{{x - 2}}
\]
حال اگر \(g(2) = 0\) باشد، از قاعده همجواری استفاده میشود. همچنین برای اینکه این حد موجود باشد و صفر بر صفر نشود، باید مشتق تابع \(f(x)\) در \(x=2\) استفاده شود.
اگر از قاعدهی لُوپیتال استفاده کنیم:
بر اساس قاعدهی لُوپیتال، در صورت وجود شرط صفر بر صفر، مشتق صورت و مخرج را میگیریم:
مشتق صورت و مخرج به شکل زیر است:
صورت: \((f(x) - 3)g(x) \Rightarrow g(x)f'(x) + (f(x) - 3)g'(x)\)
مخرج: \(x - 2\) که مشتق آن برابر 1 است.
پس حد برابر میشود با \(g(2)f'(2) + (f(2) - 3)g'(2)\).
از نمودار خوانده میشود که:
- \(f(2) = 3\)
- \(g(2) = 0\)
بنابراین شرط حد را به این صورت داریم:
\[ g'(2) \neq 0 \Rightarrow 0 \times f'(2) + (3 - 3)g'(2) \]
بنابراین باید مقدار \(\lim_{{x \to 2}} \frac{{0}}{{x-2}}\) باشد که حد آن باید نهایتاً با توجه به نمودار از طرف بالا و پایین بررسی شود. اگر نتوانیم با اطلاعات دیگر در ارائهشده نتیجه بگیریم، نیاز به نمودار دقیقتر یا دادهی اضافی داریم.
در نهایت باید بتوانیم مقادیر مشتق تابع \(f\) و \(g\) را محاسبه کنیم. برای محاسبه دقیقتر اطلاعات بیشتری نیاز است.
