برای اثبات این‌که مثلث‌های \(\triangle ABO\) و \(\triangle ADC\) همنهشت هستند، ابتدا نیاز داریم که ثابت کنیم \(\triangle AMO\) و \(\triangle ADM\) همنهشت هستند. در \(\triangle AMO\) و \(\triangle ADM\): 1. زوایای \(\angle AMO\) و \(\angle ADM\) هر دو قائمه هستند (90 درجه). 2. ضلع \(AM\) در هر دو مثلث مشترک است. 3. \(OM = MD\) زیرا \(O\) و \(D\) مراکز دو دایره با شعاع‌های برابر هستند و \(M\) نقطه وسط دو مرکز است. بر اساس حالت \(\text{RHS}\) (ضلع مشترک و دو زاویه قائمه)، مشاهده می‌شود که: \[ \triangle AMO \equiv \triangle ADM \] بنابراین، زوایای \(\angle AMO = \angle ADM\) و \(\angle AOM = \angle ADM\) برابر هستند. حال \(\triangle ABO\) و \(\triangle ADC\) به دلیل داشتن ضلع‌های برابر \(AB = AC\) و \(BO = DC\) و \(AO = AD\) و همچنین زاویه‌های برابر \(\angle AOB = \angle AOD\) (زاویه‌های برابر به دلیل همنهشتی قبلی)، با توجه به حالت \(\text{SAS}\) (دو ضلع و زاویه بین آنها)، همنهشت‌اند: \[ \triangle ABO \equiv \triangle ADC \]