برای اثبات اینکه مثلثهای \(\triangle ABO\) و \(\triangle ADC\) همنهشت هستند، ابتدا نیاز داریم که ثابت کنیم \(\triangle AMO\) و \(\triangle ADM\) همنهشت هستند.
در \(\triangle AMO\) و \(\triangle ADM\):
1. زوایای \(\angle AMO\) و \(\angle ADM\) هر دو قائمه هستند (90 درجه).
2. ضلع \(AM\) در هر دو مثلث مشترک است.
3. \(OM = MD\) زیرا \(O\) و \(D\) مراکز دو دایره با شعاعهای برابر هستند و \(M\) نقطه وسط دو مرکز است.
بر اساس حالت \(\text{RHS}\) (ضلع مشترک و دو زاویه قائمه)، مشاهده میشود که:
\[
\triangle AMO \equiv \triangle ADM
\]
بنابراین، زوایای \(\angle AMO = \angle ADM\) و \(\angle AOM = \angle ADM\) برابر هستند.
حال \(\triangle ABO\) و \(\triangle ADC\) به دلیل داشتن ضلعهای برابر \(AB = AC\) و \(BO = DC\) و \(AO = AD\) و همچنین زاویههای برابر \(\angle AOB = \angle AOD\) (زاویههای برابر به دلیل همنهشتی قبلی)، با توجه به حالت \(\text{SAS}\) (دو ضلع و زاویه بین آنها)، همنهشتاند:
\[
\triangle ABO \equiv \triangle ADC
\]
