برای حل این سوالات به صورت تشریحی:
### سوال اول:
مثلث \( \triangle ABC \) متساویالساقین است و \( AM \) میانه ضلع \( BC \) است. باید بررسی کنیم که آیا مثلثهای \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \) همنهشت هستند یا خیر.
از آنجایی که \( \triangle ABC \) متساویالساقین است، داریم:
- \( AB = AC \)
- همچنین \( M \) نقطه میانی \( BC \) است، پس \( BM = MC \).
بنابراین، در مثلثهای \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \)، داریم:
- \( AB = AC \)
- \( BM = MC \)
- ضلع مشترک \( AM = AM \)
براساس قاعده ضلع-ضلع-ضلع (SSS)، این دو مثلث همنهشت هستند.
### سوال دوم:
مثلث \( \triangle ABC \) متساویالساقین است و \( AM \) به صورت نیمساز زاویه \( A \) است. باید بررسی کنیم که آیا مثلثهای \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \) همنهشت هستند یا خیر.
چون \( \triangle ABC \) متساویالساقین است، داریم:
- \( AB = AC \)
و چون \( AM \) نیمساز زاویه \( A \) است، پس:
- \( \angle BAM = \angle CAM \)
در مثلثهای \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACM \)، داریم:
- ضلع مشترک \( AM = AM \)
- \( \angle BAM = \angle CAM \)
- \( AB = AC \)
براساس قاعده زاویه-ضلع-زاویه (ASA)، این دو مثلث همنهشت هستند.
### تمرین سوال یک:
در این سوال باید بررسی کنیم که کدام مثلث قائمه است.
#### مثلث اول:
طبق قضیه فیثاغورس برای مثلثهای قائمالزاویه:
\[ 5^2 = 3^2 + 4^2 \]
که برقرار نیست. بنابراین، مثلث اول قائمه نیست.
#### مثلث دوم:
طبق قضیه فیثاغورس:
\[ \sqrt{5}^2 + 2^2 = 1^2 \]
که برقرار نیست. بنابراین، مثلث دوم قائمه نیست.
#### مثلث سوم:
طبق قضیه فیثاغورس:
\[ 3^2 + 4^2 = 5^2 \]
که برابر با 25 است. بنابراین، مثلث سوم قائمه است.
### تمرین سوال دو:
با استفاده از قضیه فیثاغورس، اگر یکی از طولهای ضلع را نمیدانید:
برای مثلثهای قائم مانند:
ضلع گمشده را میتوان با استفاده از:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
محاسبه کرد. برای مثلثهای قائمالزاویه، اندازه گمشده را با جاگذاری اعداد موجود حل کنید.
مطمئن شوید که روابط ریاضی درست به کار رفته باشد تا طول ضلع مطلوب به دست آید.
