برای اثبات همنهشتی مثلثهای \(AMD\) و \(AND\) در مثلث متساوی الساقین \(ABC\) که \(AB = AC\) و \(AD\) نیمساز زاویه \(A\) است، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. **فرضیات و اطلاعات اولیه**:
- مثلث \(ABC\) یک مثلث متساوی الساقین است، به همین دلیل داریم \(AB = AC\).
- \(AD\) نیمساز زاویه \(A\) است به این معنی که زاویه \(BAD\) و زاویه \(CAD\) برابرند:
\[
\angle BAD = \angle CAD
\]
2. **نمایش زاویهها**:
\[
\angle AMD = \angle BAD
\]
\[
\angle AND = \angle CAD
\]
از آنجا که زاویههای \(BAD\) و \(CAD\) برابرند:
\[
\angle AMD = \angle AND
\]
3. **طول ضلع مشترک**:
- در هر دو مثلث \(AMD\) و \(AND\)، ضلع \(AD\) مشترک است:
\[
AD = AD
\]
4. **طول دو ضلع دیگر**:
- چون مثلث \(ABC\) متساوی الساقین است، نقاط \(M\) و \(N\) که در انتهای \(AD\) قرار دارند، میتوانند به صورت زیر تعریف شوند:
- در مثلث \(AMD\) طول \(AM = AM\)
- در مثلث \(AND\) طول \(AN = AN\)
با توجه به اینکه در مثلث متساوی الساقین، دو سمت برابر هستند:
\[
AM = AN
\]
5. **استنتاج نهایی**:
با در نظر گرفتن موارد زیر:
- \(AD\) ضلع مشترک
- \(\angle AMD = \angle AND\) (به خاطر نیمساز)
- \(AM = AN\)
طبق قاعده زاویه - ضلع - زاویه (ASA)، مثلثهای \(AMD\) و \(AND\) همنهشت هستند. بنابراین:
\[
\triangle AMD \cong \triangle AND
\]
به این ترتیب، ثابت کردیم که مثلثهای \(AMD\) و \(AND\) همنهشت هستند.
