برای حل این سوال میتوانیم از قضیه فیثاغورس استفاده کنیم که برای هر مثلث قائمالزاویه کاربرد دارد. قضیه فیثاغورس بیان میکند که:
در یک مثلث قائمالزاویه، مربع اندازه طول وتر برابر است با مجموع مربعهای اندازه دو ضلع دیگر.
1. **مثلث اول:**
مثلث قائمالزاویه با ضلعهای \[3\] و \[2\] موجود است. فرض کنید وتر مثلث \[x\] باشد.
طبق قضیه فیثاغورس داریم:
\[
x^2 = 3^2 + 2^2 \Rightarrow x^2 = 9 + 4 \Rightarrow x^2 = 13 \Rightarrow x = \sqrt{13}
\]
2. **مثلث دوم:**
مثلث تشکیل شده از دو مثلث قائمالزاویه کوچکتر است. محاسبات بر اساس هر یک از آنها بدین شکل است:
- اگر \[y\] وتر مثلث کوچکتر باشد و ضلعهای آن \[3\] و \[1\] باشند:
\[
y^2 = 3^2 + 1^2 \Rightarrow y^2 = 9 + 1 \Rightarrow y^2 = 10 \Rightarrow y = \sqrt{10}
\]
- حال \[z\] وتر مثلث بزرگتر باشد و ضلعهای آن \[y\] و \[12\]:
\[
z^2 = y^2 + 12^2 \Rightarrow z^2 = 10 + 144 \Rightarrow z^2 = 154 \Rightarrow z = \sqrt{154}
\]
3. **مثلث سوم:**
مثلث قائمالزاویه با اضلاع \[15\] و \[x\] وجود دارد و وتر \[25\] است.
دوباره طبق قضیه فیثاغورس:
\[
25^2 = 15^2 + x^2 \Rightarrow 625 = 225 + x^2 \Rightarrow x^2 = 400 \Rightarrow x = \sqrt{400} = 20
\]
بنابراین، اندازههای مجهول از سه مثلث به صورت زیر میباشند:
- مثلث اول: \( x = \sqrt{13} \)
- مثلث دوم: \( y = \sqrt{10}, z = \sqrt{154} \)
- مثلث سوم: \( x = 20 \)
