برای حل این سوال می‌توانیم از قضیه فیثاغورس استفاده کنیم که برای هر مثلث قائم‌الزاویه کاربرد دارد. قضیه فیثاغورس بیان می‌کند که: در یک مثلث قائم‌الزاویه، مربع اندازه طول وتر برابر است با مجموع مربع‌های اندازه دو ضلع دیگر. 1. **مثلث اول:** مثلث قائم‌الزاویه با ضلع‌های \[3\] و \[2\] موجود است. فرض کنید وتر مثلث \[x\] باشد. طبق قضیه فیثاغورس داریم: \[ x^2 = 3^2 + 2^2 \Rightarrow x^2 = 9 + 4 \Rightarrow x^2 = 13 \Rightarrow x = \sqrt{13} \] 2. **مثلث دوم:** مثلث تشکیل شده از دو مثلث قائم‌الزاویه کوچکتر است. محاسبات بر اساس هر یک از آنها بدین شکل است: - اگر \[y\] وتر مثلث کوچک‌تر باشد و ضلع‌های آن \[3\] و \[1\] باشند: \[ y^2 = 3^2 + 1^2 \Rightarrow y^2 = 9 + 1 \Rightarrow y^2 = 10 \Rightarrow y = \sqrt{10} \] - حال \[z\] وتر مثلث بزرگ‌تر باشد و ضلع‌های آن \[y\] و \[12\]: \[ z^2 = y^2 + 12^2 \Rightarrow z^2 = 10 + 144 \Rightarrow z^2 = 154 \Rightarrow z = \sqrt{154} \] 3. **مثلث سوم:** مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع \[15\] و \[x\] وجود دارد و وتر \[25\] است. دوباره طبق قضیه فیثاغورس: \[ 25^2 = 15^2 + x^2 \Rightarrow 625 = 225 + x^2 \Rightarrow x^2 = 400 \Rightarrow x = \sqrt{400} = 20 \] بنابراین، اندازه‌های مجهول از سه مثلث به صورت زیر می‌باشند: - مثلث اول: \( x = \sqrt{13} \) - مثلث دوم: \( y = \sqrt{10}, z = \sqrt{154} \) - مثلث سوم: \( x = 20 \)