برای حل این نابرابری، باید هر دو شرط مجزا را بررسی کنیم:
1. \(|x - 2| < 2\)
این شرط به معنای:
\[
-2 < x - 2 < 2
\]
با اضافه‌کردن 2 به همه طرف‌های نابرابری:
\[
0 < x < 4
\]
2. \(|x - 3| < \beta\)
این شرط به معنای:
\[
-\beta < x - 3 < \beta
\]
با اضافه‌کردن 3 به همه طرف‌های نابرابری:
\[
3 - \beta < x < 3 + \beta
\]
حالا باید تداخل این دو محدودیت را بیابیم:
- شرط اول می‌گوید \(0 < x < 4\).
- شرط دوم می‌گوید \(3 - \beta < x < 3 + \beta\).
برای یافتن ناحیه مشترک، این دو نابرابری را ترکیب می‌کنیم. با توجه به اینکه \(\beta\) مانند \(x\) محدودیتی می‌شود، مقدار خاصی را برای \(\beta\) انتخاب می‌کنیم که این شرط‌ها را برآورده کند.
فرض کنید \(\beta = 1\)، آن‌گاه بازه‌های مشترک:
- از شرط اول: \(0 < x < 4\)
- از شرط دوم با \(\beta = 1\): \(2 < x < 4\)
به این ترتیب، ناحیه مشترک این بازه‌ها:
\(2 < x < 4\)
پس مقدار \(\alpha + \beta\):
با توجه به اینکه \(\alpha = 3\) و \(\beta = 1\)، بنابراین:
\(\alpha + \beta = 4\)
بنابراین پاسخ صحیح گزینه \(4\) است.
