برای پیدا کردن مقدار \( k \) که کمترین مقدار تابع \( f(x) = (k + 4)x^2 - 2x + k \) برابر با \( 4 \) باشد، ابتدا باید کمترین مقدار این تابع را محاسبه کنیم.
تابع \( f(x) \) یک تابع درجه دوم است و به صورت استاندارد میتوان آن را در فرم \( ax^2 + bx + c \) نوشت:
- \( a = k + 4 \)
- \( b = -2 \)
- \( c = k \)
کمترین مقدار تابع \( f(x) \) تابع درجه دوم هنگامی اتفاق میافتد که \( x \) برابر با \( -\frac{b}{2a} \) باشد. بنابراین:
\[
x_{\text{min}} = -\frac{-2}{2(k + 4)} = \frac{2}{2(k + 4)} = \frac{1}{k + 4}
\]
حالا با جایگزین کردن \( x = \frac{1}{k + 4} \) در تابع \( f(x) \) میتوان کمترین مقدار تابع را محاسبه کرد:
\[
f\left(\frac{1}{k + 4}\right) = (k + 4)\left(\frac{1}{k + 4}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{k + 4}\right) + k
\]
حساب میکنیم:
\[
f\left(\frac{1}{k + 4}\right) = (k + 4) \cdot \frac{1}{(k + 4)^2} - \frac{2}{k + 4} + k
\]
\[
= \frac{1}{k + 4} - \frac{2}{k + 4} + k
\]
\[
= k - \frac{1}{k + 4}
\]
میدانیم کمترین مقدار تابع برابر \( 4 \) است، بنابراین:
\[
k - \frac{1}{k + 4} = 4
\]
حالا این معادله را حل میکنیم:
\[
k - 4 = \frac{1}{k + 4}
\]
دو طرف را در \( k + 4 \) ضرب میکنیم:
\[
(k - 4)(k + 4) = 1
\]
که در نهایت ما به یک معادله درجه دوم میرسیم:
\[
k^2 - 16 = 1
\]
\[
k^2 = 17
\]
از اینجا میتوانیم ریشهها را محاسبه کنیم:
\[
k = \sqrt{17} \quad \text{یا} \quad k = -\sqrt{17}
\]
بنابراین، دو مقدار برای \( k \) داریم:
\[
k = \sqrt{17} \quad \text{یا} \quad k = -\sqrt{17}
\]
این دو مقدار برای \( k \) به عنوان پاسخ سوال قابل قبول هستند.
