برای تعیین علامت تابع $$ y = x^3 - 3x^2 + 3x $$، ابتدا باید نقاط بحرانی را پیدا کنیم. این نقاط زمانی به وجود میآیند که مشتق تابع برابر با صفر باشد یا تابع نامتعین شود.
ابتدا مشتق تابع را محاسبه میکنیم:
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3x) $$
با محاسبه مشتق داریم:
$$ y' = 3x^2 - 6x + 3 $$
حالا برای پیدا کردن نقاط بحرانی، معادله مشتق را برابر با صفر قرار میدهیم:
$$ 3x^2 - 6x + 3 = 0 $$
سادهسازی معادله:
$$ x^2 - 2x + 1 = 0 $$
این معادله را میتوان به صورت زیر نوشت:
$$ (x - 1)^2 = 0 $$
بنابراین، تنها یک نقطه بحرانی داریم:
$$ x = 1 $$
حالا باید علامت تابع اصلی را در فواصل مختلف تعیین کنیم. برای این کار، نقاط بحرانی را به عنوان مرز در نظر میگیریم و در فواصل مختلف علامت تابع را بررسی میکنیم.
ما داریم دو بازه:
1. \( (-\infty, 1) \)
2. \( (1, +\infty) \)
حالا یک عدد از هر بازه را انتخاب میکنیم تا علامت تابع را بررسی کنیم.
1. برای \( x < 1 \) (به عنوان مثال \( x = 0 \)):
$$ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 = 0 $$
بنابراین علامت تابع در این بازه "صفر" است.
2. برای \( x > 1 \) (به عنوان مثال \( x = 2 \)):
$$ y(2) = 2^3 - 3(2^2) + 3(2) = 8 - 12 + 6 = 2 $$
بنابراین علامت تابع در این بازه مثبت است.
خلاصه:
- در \( (-\infty, 1) \) علامت تابع صفر است.
- در \( (1, +\infty) \) علامت تابع مثبت است.
پس نتیجه نهایی به صورت زیر است:
- تابع در \( (-\infty, 1) \): صفر
- تابع در \( (1, +\infty) \): مثبت
