برای حل این مسئله، ابتدا باید یادآوری کنیم که محیط یک مستطیل (P) از فرمول زیر به دست میآید:
\[ P = 2(l + w) \]
که در آن \( l \) طول و \( w \) عرض مستطیل است. طبق متن سوال، محیط مستطیل 100 متر است، پس داریم:
\[ 2(l + w) = 100 \]
با تقسیم بر 2، داریم:
\[ l + w = 50 \]
حال میخواهیم مساحت (A) مستطیل را محاسبه کنیم که به صورت زیر تعریف میشود:
\[ A = l \cdot w \]
اکنون از معادله \( l + w = 50 \) میتوانیم \( w \) را به صورت زیر بیان کنیم:
\[ w = 50 - l \]
و سپس مساحت را به صورت تابعی از \( l \) بازنویسی میکنیم:
\[ A = l \cdot (50 - l) \]
این معادله به شکل زیر است:
\[ A = 50l - l^2 \]
حالا، این معادله یک معادله سهمی است که با شکل کلی \( A = -l^2 + 50l \) مشخص میشود. برای پیدا کردن بیشترین مقدار مساحت، ما باید از فرمول «قله معادله سهمی» استفاده کنیم که برای یک معادله به فرم \( ax^2 + bx + c \) این است:
\[ l = -\frac{b}{2a} \]
که در اینجا \( a = -1 \) و \( b = 50 \) است. بنابراین:
\[ l = -\frac{50}{2 \cdot -1} = \frac{50}{2} = 25 \]
حال که طول را پیدا کردیم، میتوانیم عرض را محاسبه کنیم:
\[ w = 50 - l = 50 - 25 = 25 \]
بنابراین، طول و عرض مستطیل هر دو 25 متر است. حالا میتوانیم مساحت را حساب کنیم:
\[ A = l \cdot w = 25 \cdot 25 = 625 \]
در نتیجه، بیشترین مقدار مساحت مستطیل با محیط 100 متر برابر با 625 متر مربع است.
