برای حل این مسئله، فرض میکنیم که ۳ ضلع حصار به یک شکل هندسی متصل داریم. معمولاً یکی از سادهترین اشکال هندسی که میتوان با سه ضلع حصار کشی کرد، مثلث است. برای شروع، ما توجه میکنیم که سه ضلع حصار را میتوان به شکل یک مثلث با مساحت حداکثر تقسیم کرد.
با توجه به اینکه مجموع طول ۳ ضلع حصار ۵۰ متر است، ابتدا میتوانیم فرض کنیم که هر ضلع مثلث (a، b، c) مجموعاً برابر با ۵۰ است:
\[ a + b + c = 50 \]
برای پیدا کردن حداکثر مساحت مثلث، از فرمول هیرون استفاده میکنیم:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
که در اینجا s نیم محیط مثلث است:
\[ s = \frac{50}{2} = 25 \]
حال مساحت مثلث به صورت زیر محاسبه میشود:
\[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
برای حداکثر کردن مساحت، بهتر است که مثلث متساوی الساقین باشد. بنابراین، فرض میکنیم که دو ضلع برابر هستند:
\[ a = b \quad و \quad c = 50 - 2a \]
حال کسرها را وارد فرمول مساحت میکنیم:
1. از آنجا که که برای هر شکل حداقلی باید \( a + b > c \) باشد، پس داریم:
\[ 2a > (50 - 2a) \Rightarrow 4a > 50 \Rightarrow a > 12.5 \]
2. همچنین از اینکه \( c > 0 \) باید باشد داریم:
\[ 50 - 2a > 0 \Rightarrow a < 25 \]
پس طول ضلع a باید در بازه \( 12.5 < a < 25 \) باشد.
حالا با توجه به اینکه میخواهیم مساحت را حداکثر کنیم، میتوانیم از مقدارهای میانه استفاده کنیم. اگر به \( a = b = 25/2 = 12.5 \) بریزیم و البته طول ضلع c را 25 متر قرار دهیم:
مساحت مثلث متساوی الساقین محاسبه میشود:
\[ c = 25, a = 12.5, b = 12.5 \]
در نهایت برای محاسبه مساحت:
\[ s = \frac{50}{2} = 25 \]
و سپس
\[ A = \sqrt{25(25-12.5)(25-12.5)(25-25)} = \sqrt{25 \times 12.5 \times 12.5 \times 0} = 0 \]
نتیجه این است که نمیتوانید مساحت مثبتی داشته باشید، اما با در نظر گرفتن متلازمان بین طولها و محاسبات، مثلث متساوی الساقین با طولهای معین حداکثر مساحتی که میتوان حصارکشی کرد در نهایت نشان میدهد که ممکن است نسبت به فضاهای دیگر متفاوت باشد. با توجه به شرایط و تفصیل در مفاهیم ریاضی بیشتر و جزئیات چیدمان، میتوانیم بهترین پاسخ را بیابیم.
در حالت کلی اما، برای حداکثر مساحت، ما با مساحتهای غیرفعالی هم مواجه خواهیم شد که نشان میدهد تا چه اندازه فضای مشخص شده اطمینان پیدا میکند.
