برای حل این نابرابریها به ترتیب به بررسی هر کدام میپردازیم:
۱. **الف) \(2x^2 - 5x \leq 0\)**
- ابتدا معادله را صفر قرار میدهیم:
\[
2x(x - \frac{5}{2}) = 0
\]
ریشهها \(x = 0\) و \(x = \frac{5}{2}\) هستند.
- نمودار سهمی که به طرف بالا است را رسم کرده و بررسی میکنیم در چه بازهای مقدار فقراتی صفر یا منفی است:
\[
x \in [0, \frac{5}{2}]
\]
۲. **ب) \(5x^3 - 10x \leq 0\)**
- صورت را صفر قرار دهید:
\[
5x(x^2 - 2) = 0
\]
ریشهها: \(x = 0, \pm\sqrt{2}\).
- نشانهگذاریها بر روی خط اعداد: \([- \sqrt{2}, 0]\) و \([0, \sqrt{2}]\).
۳. **پ) \((x+2)^{-1} - (2(x-1))^{-1} \geq \frac{1}{8}\)**
- سادهسازی و محاسبه اشتراک عبارتها:
با تعیین مخرج مشترک و مقایسه، جواب را تحلیل کنید.
۴. **ت) \(3x^2 - 5x < 3\)**
- انتقال به یک طرف معادله:
\[
3x^2 - 5x - 3 < 0
\]
- حل معادله درجه دو و استفاده از نمودار برای پیدا کردن بازه:
۵. **ج) \(\frac{x^2 - 6x + 5}{-x^2 + x - 7} > 0\)**
- نقاط بحرانی (صورت و مخرج صفر): \(x^2 - 6x + 5 = 0\) و \(-x^2 + x - 7 = 0\).
- بررسی نمودار و علامتهای حاصلضرب صورت و مخرج.
۶. **چ) \(\frac{x^2 - 4x}{x^2 + 4} \leq 0\)**
- تجزیه صورت و مخرج:
\[
x(x-4) \quad \text{واژگانی از حل }
\]
- بررسی بازهها و علامت.
۷. **ح) \(\frac{2x - 4}{x + 2} < 2\)**
- تبدیل و سادهسازی به:
\[
\frac{2x - 4 - 2(x+2)}{x+2} < 0
\]
۸. **خ) \(\frac{\Delta x + 1}{x - 2} \geq 1\)**
- مخرج را منتقل کنید به صورت ساده:
\[
\frac{\Delta x + 1 - (x-2)}{x-2} \geq 0
\]
هر یک از مراحل شامل تجزیه و تحلیل نقاط، بررسی علامتها و نهاییسازی ناحیههایی است که نابرابریها را حفظ میکنند. خطوط عددی یا نمودارها کمک میکنند به راحتی وضعیت علامت را مشاهده کنید.
