برای حل این مسأله، ابتدا فرمول عمومی یک دنباله هندسی را یادآوری میکنیم. در دنباله هندسی، nامین جمله به صورت زیر تعریف میشود:
\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \]
که در آن:
- \( a_n \) = nامین جمله
- \( a_1 \) = جمله اول
- \( r \) = قدر نسبت (یا نسبت دنباله)
- \( n \) = شماره جمله
در این سوال، ما جمله هفتم (\( a_7 \)) و جمله دهم (\( a_{10} \)) را داریم:
1. \( a_7 = a_1 \cdot r^{6} = 162 \)
2. \( a_{10} = a_1 \cdot r^{9} = 6 \)
اکنون دو معادله داریم:
\[
a_1 \cdot r^{6} = 162
\]
\[
a_1 \cdot r^{9} = 6
\]
از معادله اول، مقدار \( a_1 \) را به دست میآوریم:
\[
a_1 = \frac{162}{r^6}
\]
حالا مقدار \( a_1 \) را در معادله دوم قرار میدهیم:
\[
\frac{162}{r^6} \cdot r^{9} = 6
\]
با سادهسازی معادله:
\[
\frac{162 \cdot r^{3}}{r^6} = 6
\]
\[
162 \cdot r^{3} = 6 \cdot r^{6}
\]
حال هر دو طرف را به \( 6 \) تقسیم میکنیم:
\[
27 \cdot r^{3} = r^{6}
\]
حالا میتوانیم این معادله را بازنویسی کنیم:
\[
r^{6} - 27 \cdot r^{3} = 0
\]
این معادله را میتوان به صورت زیر فاکتور کرد:
\[
r^{3}(r^{3} - 27) = 0
\]
این نشان میدهد که دو جواب داریم:
1. \( r^{3} = 0 \) (که قابل قبول نیست زیرا قدر نسبت نمیتواند صفر باشد)
2. \( r^{3} = 27 \)
پس \( r = \sqrt[3]{27} = 3 \).
بنابراین، قدر نسبت دنباله هندسی برابر با \( \textbf{3} \) است.
