برای حل سؤال، میخواهیم مقدار \( \alpha \) را پیدا کنیم که شرطهای زیر را برآورده کند:
\[ 0.5 < \alpha < 2.2 \]
و
\[ \cos(2\alpha) = \frac{m + 1}{4} \]
**روش حل:**
1. ابتدا بازه \(\alpha\) را در نظر بگیرید که در واقع میخواهیم مقدار \(\alpha\) در این محدوده تعیین شود.
2. مقدار \(\cos(2\alpha)\) داده شده است. میدانید که \(\cos(2\alpha)\) از فرمول دو برابر زاویه به صورت زیر است:
\[
\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1
\]
3. با توجه به این که \(\cos(2\alpha) = \frac{m + 1}{4}\) است، معادله زیر را به دست میآوریم:
\[
2\cos^2(\alpha) - 1 = \frac{m + 1}{4}
\]
4. این معادله را برای \(\cos^2(\alpha)\) حل کنید:
\[
2\cos^2(\alpha) = \frac{m + 1}{4} + 1
\]
\[
\cos^2(\alpha) = \frac{\frac{m + 1}{4} + 1}{2}
\]
\[
\cos^2(\alpha) = \frac{m + 1 + 4}{8}
\]
\[
\cos^2(\alpha) = \frac{m + 5}{8}
\]
5. در نهایت، \(\cos(\alpha)\) را به دست میآوریم:
\[
\cos(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{m + 5}{8}}
\]
در اینجا باید توجه داشته باشید که مقدار \(\alpha\) باید در بازه داده شده باشد و با استفاده از مقادیر مجاز \(m\)، \(\alpha\) را پیدا کنید.
در صورت نیاز به اطلاعات خاصتر، باید مقدار \(m\) نیز مشخص باشد تا محاسبات دقیقتری انجام شود.
