برای حل سوال، داده شده که:
\[
\cos \alpha + \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
هدف محاسبه مقادیر زیر است:
الف) \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\)
ب) \(\tan \alpha + \cot \alpha\)
ج) \(\sin \alpha - \cos \alpha\)
### الف) محاسبه \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\)
از معادله داده شده:
\[
(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2
\]
\[
\cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = \frac{1}{2}
\]
و با توجه به \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)، داریم:
\[
1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}
\]
\[
2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}
\]
\[
\sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{1}{4}
\]
### ب) محاسبه \(\tan \alpha + \cot \alpha\)
میدانیم:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad \text{و} \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]
\[
\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}
\]
قبلاً حساب کردیم که \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{1}{4}\)، بنابراین:
\[
\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -4
\]
### ج) محاسبه \(\sin \alpha - \cos \alpha\)
از محاسبه قبلی داریم:
\[
(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \frac{1}{2}
\]
و برای \(\sin \alpha - \cos \alpha\):
\[
(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2 (\sin \alpha \cos \alpha)
\]
\[
(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \left(-\frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]
بنابراین:
\[
\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}
\]
پاسخها به ترتیب موارد:
الف) \(-\frac{1}{4}\)
ب) \(-4\)
ج) \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)
