دوستان اگ اینو بلدین توضیح بدید ممنوننن

برای حل سوال، داده شده که: \[ \cos \alpha + \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \] هدف محاسبه مقادیر زیر است: الف) \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\) ب) \(\tan \alpha + \cot \alpha\) ج) \(\sin \alpha - \cos \alpha\) ### الف) محاسبه \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\) از معادله داده شده: \[ (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \] \[ \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \] و با توجه به \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)، داریم: \[ 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \] \[ 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \] \[ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{1}{4} \] ### ب) محاسبه \(\tan \alpha + \cot \alpha\) می‌دانیم: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad \text{و} \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] \[ \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \] قبلاً حساب کردیم که \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{1}{4}\)، بنابراین: \[ \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -4 \] ### ج) محاسبه \(\sin \alpha - \cos \alpha\) از محاسبه قبلی داریم: \[ (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \frac{1}{2} \] و برای \(\sin \alpha - \cos \alpha\): \[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2 (\sin \alpha \cos \alpha) \] \[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \left(-\frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] بنابراین: \[ \sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] پاسخ‌ها به ترتیب موارد: الف) \(-\frac{1}{4}\) ب) \(-4\) ج) \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)