برای حل مسئله، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
۱. می‌دانیم که \(\sin a = \frac{1}{5}\) و زاویه \(a\) در ناحیه دوم است. در ناحیه دوم، سینوس مثبت و کسینوس منفی است.
۲. طبق رابطه مثلثاتی اصلی داریم:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
۳. مقدار \(\sin^2 a\) را جای‌گذاری می‌کنیم:
\[
\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1
\]
\[
\frac{1}{25} + \cos^2 a = 1
\]
۴. \(\cos^2 a\) را پیدا می‌کنیم:
\[
\cos^2 a = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}
\]
۵. چون زاویه \(a\) در ناحیه دوم است، \(\cos a\) منفی است:
\[
\cos a = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}
\]
۶. حالا مقدار \(\tan a\) را محاسبه می‌کنیم:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}}
\]
۷. برای ساده‌سازی \(\tan a\):
\[
\tan a = -\frac{\sqrt{6}}{12}
\]
بنابراین، مقدار \(\tan a\) برابر با \(-\frac{\sqrt{6}}{12}\) است.
