برای حل حد زیر:
\[ \lim_{{x \to \infty}} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1} \right) \]
ابتدا میتوان عبارت را با ضرب در مزدوجش ساده کرد:
مزدوج عبارت به صورت زیر است:
\[ \sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1} \]
بنابراین، ضرب صورت و مخرج در مزدوج خواهیم داشت:
\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{\left( \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1} \right)\left( \sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1} \right)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}} \]
صورت این عبارت به شکل اختلاف مربعات درمیآید:
\[ (x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1) = 2x \]
بنابراین حد به شکل زیر تبدیل میشود:
\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}} \]
تقسیم صورت و مخرج بر \(x\) داریم:
\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}} \]
برای \(x\) های بسیار بزرگ، \(\frac{1}{x}\) و \(\frac{1}{x^2}\) به صفر میل میکنند، پس میتوان تقریبی بهصورت زیر نوشت:
\[ \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \approx 1 \]
و
\[ \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \approx 1 \]
پس داریم:
\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \]
بنابراین حد مسئله برابر ۱ است.
