برای حل این سوال، ابتدا باید فرمول انرژی جنبشی \( E_k \) را یادآوری کنیم. انرژی جنبشی یک جسم با جرم \( m \) و سرعت \( v \) به صورت زیر تعریف میشود:
\[
E_k = \frac{1}{2} m v^2
\]
از متن سوال، میدانیم که:
1. \( E_k = 100 \text{ J} \)
2. انرژی جنبشی جدید با تندی \( 2v \) و جرم \( m + 5 \text{ kg} \) برابر \( 1200 \text{ J} \)
بنابراین، دو معادله برای انرژی جنبشی خواهیم داشت:
**معادله اول:**
\[
\frac{1}{2} m v^2 = 100
\]
**معادله دوم:**
\[
\frac{1}{2} (m + 5) (2v)^2 = 1200
\]
بیایید معادله اول را حل کنیم تا نسبت \( mv^2 \) را به دست آوریم:
\[
m v^2 = 200
\]
حالا، معادله دوم را با جایگزینی \( (2v)^2 = 4v^2 \) بازنویسی میکنیم:
\[
\frac{1}{2} (m + 5) (4v^2) = 1200
\]
با حذف \(\frac{1}{2}\) و جایگزینی \( mv^2 = 200 \):
\[
2(m + 5) v^2 = 1200
\]
با تقسیم بر 2:
\[
(m + 5)v^2 = 600
\]
حالا از معادله اول که \( mv^2 = 200 \) است، میتوانیم \( v^2 \) را به صورت زیر بنویسیم:
\[
v^2 = \frac{200}{m}
\]
و آن را در معادله دوم قرار میدهیم:
\[
(m + 5) \left(\frac{200}{m}\right) = 600
\]
حالا \( m + 5 \) را پراکنده میکنیم:
\[
\frac{200m + 1000}{m} = 600
\]
حالا با ضرب دو طرف معادله در \( m \):
\[
200m + 1000 = 600m
\]
با جابهجایی و جمع کردن:
\[
1000 = 600m - 200m
\]
پس داریم:
\[
1000 = 400m
\]
با تقسیم دو طرف بر 400:
\[
m = \frac{1000}{400} = 2.5 \text{ kg}
\]
حالا \( m \) را داریم، برای پیدا کردن \( v \):
از \( mv^2 = 200 \):
\[
2.5v^2 = 200
\]
پس:
\[
v^2 = \frac{200}{2.5} = 80
\]
و:
\[
v = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ m/s}
\]
نتیجه نهایی:
- مقدار \( m = 2.5 \) kg
- مقدار \( v = 4\sqrt{5} \) m/s
در SI، مقادیر به صورت زیر هستند:
- \( m = 2.5 \) kg
- \( v \approx 8.94 \) m/s (چرا که \( 4\sqrt{5} \approx 8.94 \))
امیدوارم این توضیحات به شما کمک کرده باشد!
