برای حل مسئلهای که در آن مجموع چند جملهای داده شده و قرار است مقدار آن به حداقل برسد، ابتدا باید به دقت مسئله را تحلیل کنیم. در عبارت \(42x^2 + 24x - 3\)، هدف این است که این عبارت تحت شرایط خاصی که در صورت سوال داده شده است، به کمترین مقدار خود برسد.
برای پیدا کردن مقدار کمینه یک تابع درجه دوم از نوع \(ax^2 + bx + c\)، میتوان از روش مشتقگیری یا تکمیل مربع استفاده کرد. در اینجا، از روش تکمیل مربع استفاده میکنیم:
1. **تکمیل مربع:**
برای تابع \(ax^2 + bx + c\)، عبارت به صورت زیر نوشته میشود:
\[
a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c
\]
در این مسئله:
\[
a = 42, \quad b = 24, \quad c = -3
\]
بنابراین:
\[
42(x+\frac{24}{2 \cdot 42})^2 - \frac{24^2}{4 \cdot 42} - 3
\]
محاسبه کنید:
\[
x + \frac{24}{84} = x + \frac{2}{7}
\]
\[
- \frac{24^2}{168} - 3 = - \frac{576}{168} - 3 = -\frac{24}{7} - 3
\]
2. **کمینه کردن تابع:**
مقدار کمینه تابع برابر است با:
\[
- \frac{24}{7} - 3
\]
محاسبات را به دقت کامل کنید تا کمینه دقیقتر مشخص شود.
